他从一条统计规律出发，用几何直(觉重构复杂世界

更新时间：2026-01-17 04:35 来源：牛马见闻

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�2010 年 10 月 14 日卒于美国马萨诸塞州剑桥�他在 IBM 工作了 35 年�他于 2010 年因癌症去世�

在数?学愈发走向抽(象与符号化的20世纪，一位特立独行的数学家用几何视角，从一条看似简单的统计规律出发，找到了现实事物中隐藏的深刻关联。他将这种结构称为——分形，并由此改变了科学家理解和描述复杂世界的方式。这位数学家，就是芒德布罗。 撰文 | 伊恩·斯图尔特（lan Stewart） 翻译 | 张憬 贝努瓦· B. 芒德布罗（Benoit B. Mandelbrot），1924 年 11 月 20 日生于波兰华沙，2010 年 10 月 14 日卒于美国马萨诸塞州剑桥。丨图源：wiki 1944 年，由于第二次世界大战的影响，巴黎高等师范学院和巴黎综合理工学院将入学考试的时间推迟了六个月。考试持续了一个月，难度极大，但年轻的芒德布罗经受住了两所名校的考验。他的一位老师发现，在所有考生中只有一人答上了那道特别难的数学题。他猜这家伙一定是芒德布罗，一问果然没错。这位老师坦言，他自己也做不出这道题，因为相关计算的核心是一个“非常可怕的三重积分”。 芒德布罗却笑了。“这题挺简单的。”他解释说，那个积分可以看作经过伪装的球体体积。在合适的坐标系下，这一点是显而易见的。每个人都知道球体体积的公式。就是这么一回事，只要找到窍门就好办了。芒德布罗显然是对的。震惊之下，这位老师思绪连篇，喃喃道：“当然，当然。”他自己怎么就没有发现呢？ 这是因为他一直在用符号思考，而没有动用几何思维。 芒德布罗是一个天生的几何学家，有着强烈的视觉直觉。因为是犹太裔，他在被占领的法国度过了艰难的童年，随时都有被纳粹逮捕的危险，好不容易才摆脱死在集中营里的命运。他为自己争取到了不同于正统但十分看重创造力的数学岗位，在美国纽约州约克敦海茨（Yorktown Heights）的 IBM 托马斯·J. 沃森实验室担任研究员。在那里，他写出了一系列文章，从语言中的单词频率到河流的洪水位，主题相当丰富。后来，他灵感迸发，将这些丰富多彩的研究综合成一个几何概念——分形。 传统的数学图形，比如球、圆锥或圆柱，具有非常简单的形状。离得越近，它们看起来就越为光滑、扁平，整体的特点消失了，局部看起来就像没有特征的平面。分形则不同，它在任何放大比例下都有细致的结构，永远存在起伏。芒德布罗写道：“云不是球体，山不是锥体，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是沿直线传播的。”分形捕捉到了数学物理学中传统结构捕捉不到的自然特征。它从根本上改变了科学家对现实世界建模的方式，被应用于物理学、天文学、生物学、地质学、语言学、全球金融和其他许多领域。它还具有深刻的纯数学特征，并与混沌动力学有着密切的联系。 有些数学领域虽然不是全新的产物，但它们在 20 世纪下半叶开始兴起，并通过提供新的方法和视角改变了数学及其应用之间的关系，分形就是其中之一。分形几何可以追溯到人们对分析逻辑严密性的追求，1900 年前后出现的多种“病态曲线”（pathological curve）由此而来，主要作用是表明天真的直观论证可能会出错。例如，希尔伯特就曾画出这样一条曲线，它会经过一个正方形内的每一个点——不是掠过，而是精确地经过。出于显而易见的原因，这条曲线被称为空间填充曲线，它告诫我们在思考维度概念时要小心谨慎。连续变换可以增加空间的维数，这里是从一维变为二维。其他例子还有黑尔格·冯·科赫（Helge von Koch）的雪花曲线（长度无限，但包围的面积有限）和瓦茨瓦夫·谢尔平斯基（Wacław Sierpiński）的垫片（在每一点都与自己相交）。 然而，这些早期成果在专业方向之外意义不大，主要被视为孤立的奇异之物。一个学科领域要想“崛起”，就必须有人将碎片拼接在一起，理解其潜在的统一性，以足够的概括程度提出所需的概念，然后走出去，向世界推广这些思想。芒德布罗绝不是正统意义上的数学家，但他既有眼界也有毅力，能够承担这样的重任。 早年经历 芒德布罗在两次世界大战的战争间隙出生于华沙，这是一个犹太裔的立陶宛家庭，知识氛围浓厚。他的母亲贝拉·吕里（Bella Lurie）是一名牙医。他的父亲卡尔·芒德布罗（Karl Mandelbrojt）没有受过正规教育，以制衣售衣为业，但他的家族是学者世家，因此芒德布罗是在学术传统的熏陶下长大的。父亲有一个弟弟叫绍莱姆·芒德布罗（Szolem Mandelbrojt），后来成了杰出的数学家。母亲贝拉曾经因为传染病失去过一个孩子，所以为了避免悲剧重演，她将芒德布罗留在家中，有几年没让他出去上学。另一位叔叔洛特曼·芒德布罗（Loterman Mandelbrojt）负责教导他，但这个老师不是很靠谱。芒德布罗学会了下棋、听古典神话和故事，但基本上也仅限于此了。他甚至不了解字母表和乘法口诀。不过，他的图像思维能力确实得到了开发。他思考棋子的走法时，很大程度上要看棋局的形状，也就是棋盘上棋子构成的图案。他非常喜欢地图，这一点可能源自父亲。他的父亲是个地图收藏发烧友，家里所有墙上都挂着地图。他还会阅读一切能接触到的文字。 1936 年，他们一家成了逃离波兰的经济政治难民。他的母亲无法继续行医，父亲的生意也倒闭了。一位在巴黎的姑妈成了他们投靠的对象。后来，芒德布罗提到，多亏有这位姑妈的帮助，他们保住了性命，也没有被抑郁压垮。 绍莱姆的数学事业倒是蒸蒸日上，在芒德布罗 5 岁时，他的这位叔叔成了克莱蒙 - 费朗（Clermont-Ferrand）大学的教授，八年后，又当上了巴黎法兰西公学院的数学教授。芒德布罗深受触动，也开始考虑从事数学研究，不过他的父亲不赞成他去干这种不接地气的职业。 芒德布罗 10 多岁时，他的教育是由绍莱姆叔叔负责的。他也曾进入巴黎罗兰（Rolin）中学学习。但纳粹占领时期的法国对犹太人来说太过糟糕，他的童年十分穷困，而且时常处在暴力和死亡的威胁之下。1940 年，一家人再次逃亡，这次他们去了法国南部的小镇蒂勒（Tulle），芒德布罗的叔叔在那里有一处乡间房产。随后，法国南部也被纳粹占领，芒德布罗在接下来的 18 个月里一直在躲避追捕。他言辞凄凉地描述了这段生活： 有几个月我在佩里格（Périgueux）做铁路上的工匠学徒。等仗打完了，这份手艺还是有用的，这样看来这段经历比我在战时当马夫的另一段经历更值。但无论外表还是言谈，我都不像个学徒或是马夫，有一次还险些被处决或驱逐。最终，在一些好朋友的安排下，我得以进入里昂的公园中学。当世界上大部分地区处于动荡之中时，备考班却几乎一切如常，正忙着应对可怕的法国精英大学（被称为 Grandes Écoles）的考试。在里昂，接下来的几个月是我一生中最重要的时光之一。大部分时间，赤贫的生活和对城中德国老大——我们后来才知道他就是克劳斯·巴比（Klaus Barbie）——深深的恐惧将我束缚在书桌前。 巴比是个纳粹头子，供职于令人胆寒的党卫军，他也是盖世太保的成员。亲自下手折磨法国战俘的行为让他得了个“里昂屠夫”的称号。战后，他逃往玻利维亚，但于 1983 年被引渡回法国，并因反人类罪入狱。 1944 年在里昂，芒德布罗在学习数学时发现自己视觉直觉极佳。面对老师以符号形式（比如方程）提出的难题，他可以立即转换至几何视角，而这些问题的几何版本通常更容易解决。他去了巴黎高等师范学院的数学系。然而，那里的数学风气非常像布尔巴基派——抽象、概括，侧重于纯数学。他的叔叔也有类似的数学思想，在布尔巴基派开始按照严格的抽象路线系统地修正数学之前，这位叔叔就是这个团体的早期成员。这种没有图形或具体应用的形式化数学思维风格对芒德布罗并不具有吸引力。在巴黎高等师范学院待了几天后，他认定自己来错了地方，于是退学。后来，他进入了更注重实践的巴黎综合理工学院（两所学校的入学考试他都通过了）。在这里，他有更多的自由去学习不同的学科。 他的叔叔继续把他推向更抽象的数学，并建议他在选择博士论文题目的时候参考加斯东·茹利亚（Gaston Julia）1917 年发表的复变函数相关研究。但做侄子的并不喜欢这个建议。芒德布罗后来在接受沃尔夫奖时写了下面这段话： 我叔叔所钟爱的泰勒级数和傅里叶级数在几个世纪前诞生于物理学情境，但在 20 世纪发展成一种自诩“精细”“艰深”的数学分析。在我叔叔的定理中，假设可能需要好几页纸才能写完。让他沉醉其中的差异是如此难以捉摸，以至于没有任何条件是必要且充分的。对他来说，这些问题的悠久历史是骄傲之源；而对年轻的我来说，这是厌烦之源。 芒德布罗仍在寻找论文题目。某天，他问绍莱姆有没有能在地铁上打发时间的读物。他的叔叔想起了被自己扔进废纸篓的一篇文章，于是把东西捡了回来，直言这“很疯狂，但你就喜欢疯狂的东西”。那是一篇针对语言学家乔治·齐普夫（George Zipf）著作的评论，内容关乎所有语言共有的一种统计特性。似乎没有人明白这到底是怎么回事，但芒德布罗当场决定为这种特性寻找解释，这就是我们现在所说的齐普夫定律。我们很快就会看到芒德布罗的进展。 1945—1947 年，芒德布罗在巴黎综合理工学院师从保罗·莱维（Paul Lévy）和茹利亚，随后进入美国加利福尼亚理工学院学习，获得航空学硕士学位。之后他回到法国，于 1952 年获得博士学位。他还曾受雇于法国国家科学研究中心。接受冯·诺依曼的资助后，他在美国新泽西州普林斯顿高等研究院待了一年。1955 年，他与阿利耶特·卡甘（Aliette Kagan）结婚并搬到日内瓦。去过美国几次之后，夫妇俩于 1958 年在此定居，芒德布罗成了约克敦海茨的 IBM 研究人员。他在 IBM 工作了 35 年，先后担任研究员和荣休研究员。他得到过很多嘉奖，包括法国荣誉军团勋章（1989 年）、沃尔夫奖（1993 年）和日本奖（2003 年）。他的著作包括《分形对象：形、机遇和维数》（Fractals: Form, Chance, and Dimension，1977 年）和《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature，1982 年）。他于 2010 年因癌症去世。 始于齐普夫定律 关于齐普夫定律的研究为芒德布罗未来的职业生涯定下了基调。在很长一段时间里，他的工作似乎只是对奇特的统计模式进行一系列看上去毫无关联的研究，就像蝴蝶一样从一朵奇怪的花飞到另一朵奇怪的花上。直到他进入 IBM，这一切才开始显露关联。齐普夫定律让他了解了统计学中一个简单而有用（却被低估）的概念，也就是幂律关系。在一份编写标准的美式英语读物中，最常见的三个单词是： the，出现频率为 7% ； of，出现频率为 3.5% ； and，出现频率为 2.8%。 齐普夫定律指出，按照出现频率排序，第 n 个单词的频率是第一个单词的频率除以 n ，第二和第三也就是 7%÷2=3.5% 和 7%÷3≈2.3%。后一个数比实际观察到的数要小，但这并不是一个百分百准确的定律，它只是量化了一种大趋势。在这里，排第 n 的单词频率与 1/n 成正比，我们可以把它写成 n^（-1）。还有别的例子能够展现类似的规律，但相关幂的次数不是−1 。例如，费利克斯·奥尔巴赫（Felix Auerbach）在1913 年注意到，城市规模的分布也遵循这种规律，但幂为 n^（-1.07）。一般来说，如果排在第 n 项的对象的频率与 n^c 成正比，而且 c 是一个常数，我们可以称之为 c-幂律。 经典统计学很少关注幂律分布，而是把重点放在正态分布（钟形曲线）上，这背后有很多原因，有一些是合理的。但现实世界似乎经常出现幂律分布。城市的人口、电视节目的观看人数，以及人们的收入水平，都有齐普夫定律的影子。直到今天，我们也没有完全了解这是为什么，但芒德布罗的论文为这番探索开了个好头，而李文天（音译）则给出了统计学上的解释：如果一种语言中，字母表中的每个字母（外加分隔单词的空格）出现的频率相同，那么单词的分布会倾向于符合齐普夫定律。维托尔德·贝列维奇（Vitold Belevitch）证明，多种统计分布都是这样。齐普夫自己的解释是，随着时间的推移，语言会不断演变，让人们（在说或听上）以最小的努力获得最佳理解，而−1 次幂就是从这一原则中产生的。 后续，芒德布罗发表了关于财富分配、股票市场、热力学、心理语言学、海岸线长度、湍流、人口统计、宇宙结构、岛屿面积、河网统计、渗流、聚合物、布朗运动、地球物理学、随机噪声，以及其他不同主题的论文，看上去杂乱无章。然而，1975 年，他灵光一闪，找到了一切的关联：他的绝大部分工作都有一个共同的基本主题，就是几何。 自然过程中的几何极少遵循球体、锥体、圆柱体和其他拥有光滑表面的标准数学模型。山是参差不齐的，蓬松的云朵有不平整的丝丝缕缕，树木从树干到枝丫再到细枝不断分杈，蕨类植物的叶子看起来像是由许多成对的小叶子组成的。在显微镜下，烟尘是诸多聚集在一起的小颗粒，彼此之间有缝隙，也不像球体那样光滑圆润。大自然厌恶直线，不在意欧几里得和数学课本中的其他内容。芒德布罗为这种结构取了个名字：分形。他积极而热情地推动分形在科学中的应用，为自然界的许多不规则结构建模。 “模型”是这里的一个关键。地球看上去大致是个球体，再准确一点，我们也可以把它当作椭球体。这些形状能够帮助物理学家和天文学家理解潮汐和地轴倾斜等问题，但数学对象只是模型，不会完全符合现实。模型以理想化的形式捕捉自然界的某些特征，足够简洁，便于人们分析思考。但是，地球表面是粗糙的、不规则的。一个地方不能等同于它的地图，事情理应如此。澳大利亚的地图可以折叠起来放进口袋里，需要的时候随时拿出使用，同一套动作显然不能用在真正的澳大利亚上。地图应该比对应的地区简单，但能提供有用的信息。数学中的球体无论怎么放大都是完美光滑的，但现实是物体在原子层面会显现出微粒的模样。不过，这对行星的引力场研究并不重要，所以在特定情况下可以也应该忽略。同理，水适合被当作无限可分的连续体来建模，尽管在分子层面上，真正的水也是离散的。 分形同样如此。数学中的分形不是某种随机的形状，而是在所有放大比例上都有具体结构。通常而言，分形在所有尺度上都有相同的结构，这样的形状被称为自相似的。在蕨类植物的分形模型中，每片叶子都由小叶子组成，而小叶子又由更小的叶子组成，这个过程永不停止。同样的过程在真实的蕨类植物上只有四五个阶段。尽管如此，分形作为模型还是比三角形之类的更好，就像椭球体比球体更适合作为地球的模型一样。 芒德布罗很清楚波兰数学家在分形萌芽期的重要角色。这原本是针对分析、几何和拓扑提出的高度抽象的方法，来自数学家的一个小圈子，其中许多人定期在波兰利沃夫（今属乌克兰）的苏格兰咖啡馆见面。他们中有创立了泛函分析的斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach），以及深度参与制造原子弹的曼哈顿计划并提出氢弹主要构想的斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）。波兰华沙大学的谢尔平斯基也是同道中人，他提出了一种图形，“同时符合康托尔集和若尔当曲线的特征，其中的每一点都是分叉点”，也就是说，一种连续的曲线，在每一点上都与自己相交。 后来，芒德布罗将这种图形戏称为“谢尔平斯基垫片”，因为它很像连接汽车气缸盖和发动机的多孔密封片。回想起来，谢尔平斯基垫片是 20 世纪初出现的少数分形例子中的一个，它们被统称为病态曲线，尽管这些图形对自然界甚至对现在的数学来说都谈不上怪异——“病态”只是以前那些数学家的看法。贝壳上也有类似垫片的图案。不管怎么说，谢尔平斯基垫片可以通过对一个等边三角形做迭代来构造。先把它分成四个全等的等边三角形，每个小三角形的边长是大三角形的一半。删掉倒置的中心三角形，对其余的三个小三角形进行刚才的处理，这样无限重复下去。所有倒置的三角形（不包括它们的边）都被删除后，剩下的就是谢尔平斯基垫片。 构建谢尔平斯基垫片的最初几个阶段丨图源：wiki 现在，我们认为这是早期的分形，芒德布罗从中获得了灵感。后来，他发现了其中的有趣之处： 我的叔叔在 20 岁左右的时候去了法国，他是一个受意识形态驱使的难民，这种意识形态既无关政治，也无关经济，纯粹是学识上的。他同“波兰数学”水火不容，当时那个圈子正被瓦茨瓦夫·谢尔平斯基（1882—1969）建立成一个激进的抽象领域。极具讽刺意味的是，很久以后，我开始寻找建构分形几何的工具，猜猜看，是谁的研究让我收获颇丰？正是谢尔平斯基！我的叔叔逃离（谢尔平斯基的）意识形态，加入了 20 世纪 20 年代统治巴黎的庞加莱继承者行列。我的父母与他情况不同，他们就是经济政治难民。他们后来在法国和我叔叔相聚，我们一家逃过了劫难。我从未见过谢尔平斯基，但他（在不知情中）对我们一家产生了深远的影响。 在跟进这些概念时，一些纯数学家发现，分形的粗糙程度可以表示为一个数，他们称之为“维数”，因为它与研究线段、包含内部的正方形或实心立方体等标准图形时提到的维数一致。这三个标准图形的维数分别是 1、2、3。然而，分形的维数不一定是整数，因此“有多少个独立方向”的解释不再适用，关键在于图形放大后的表现。 如果将一条线段放大一倍，它的长度就会乘以 2；将一个正方形放大一倍，它的面积就会乘以 4；将一个立方体放大一倍，它的体积就会乘以 8。这些数分别是 2^1、2^2、2^3，也就是 2 的维数次幂。如果将一个垫片放大一倍，它可以变出三份和原先一样的图形。所以在这里，2 的维数次幂应该等于 3，维数就是 ln 3 / ln 2 ，约为1.585。有一个定义更为一般化，不局限于自相似分形，叫作豪斯多夫-贝西科维奇维数，还有一个更实用的版本叫盒维数，在应用之中表现不错，也是实验检验分形模型的一种方法。例如，有研究表明，分形可以很好地为云建模，摄影图像（投影到平面上，更容易操作和测量）的维数大致为 1.35。 芒德布罗集 最后要讲的这件事有几分讽刺意味，从中可以看出在数学领域匆忙做出价值判断是多么危险。1980 年，为了寻找分形几何的新应用，芒德布罗回过头来阅读茹利亚 1917 年的论文——正是他叔叔推荐的那篇，但年轻时他觉得相关研究太过抽象，所以很排斥。茹利亚和另一位数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou）分析了复变函数在迭代下的奇怪行为。这里的迭代指的是从某个数开始，应用这个函数得到第二个数，然后再次应用这个函数得到第三个数，以此类推，不断进行下去。他们重点研究了最简单的重要示例：f (z) = z^2+c 形式的二次函数，其中 c 是一个复常数，对这种映射的行为有重要影响，具体细节比较复杂。茹利亚和法图已经针对这个特定的迭代过程证明了几个深奥难懂的定理，但这些都是以符号为核心的研究。芒德布罗想知道相关图像是什么样子。 茹利亚和法图没有就此深挖几何，原因可能是手工进行相关计算耗时太长。但几十年过去，计算机的能力越发强大，而芒德布罗正好在 IBM 工作。于是，他利用计算机程序处理计算并绘图。虽然画得很乱（打印机的墨水快用光了），也很粗糙，结果依然令人惊喜。茹利亚和法图的复杂动态是由单一几何对象组织起来的——它，或者更准确地说，它的边界，是一个分形。这是一个二维的边界，因此它“几乎将空间填充”。阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady）称之为芒德布罗集，这也是我们现在常用的名称。与其他重要研究情况相似，关于芒德布罗集也有一些早期发现和与之密切相关的前期工作，尤其值得一提的是，罗伯特·布鲁克斯（Robert Brooks）和彼得·马特尔斯基（Peter Matelski）在 1978 年绘制了相同的集。芒德布罗集是复杂美丽的计算机图形学图像之源，也是数学研究的热点，它至少催生过两块菲尔兹奖章。 芒德布罗集丨图源：wiki 因此，在芒德布罗最初排斥的那篇抽象的纯数学论文中，包含了后来成为分形理论核心的思想，而他之所以发展分形理论，正是因为它没那么抽象，而且与自然界有着千丝万缕的联系。数学是一个高度关联的整体，抽象与具体通过微妙的逻辑链条联系在一起。不能说哪一种思想比另一种高明，重大突破往往是在两者并用中出现的。 本文经授权摘自《数学巨人传 : 思考、创造的奇趣故事》（人民邮电出版社·图灵新知，2025年12月版）第24章《芒德布罗：分形之父》，小标题和图片为编者所加。 <blockquote>注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。</blockquote> 特别提示 1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。 2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。

编辑：Seung·Won·Lee